В этой главе будет изложен метод гармонической линеаризации для приближенного определения периодических решений (автоколебаний) и устойчивости нелинейных систем любого порядка, который по идее близок к методу эквивалентной линеаризации или методу гармонического баланса Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, а по результатам - также и к методу малого параметра Б. В. Булгакова.
Рассматриваемый приближенный метод является мощным средством исследования нелинейных автоматических систем в смысле простоты и довольно большой универсальности его аппарата в применении к самым разнообразным нелинейностям. Однако надо иметь в виду, что он решает задачу приближенно. Имеются определенные ограничения его применимости, о которых будет сказано ниже. Эти ограничения обычно хорошо соблюдаются в задачах теории автоматического регулирования. Практические расчеты и эксперимент показывают приемлемость этого метода для многих видов нелинейных систем.
Пусть дано какое-нибудь нелинейное выражение вида
Разложив функцию в правой части выражения (18.1) в ряд Фурье, получим
что означает отсутствие постоянной составляющей в данном разложении. В настоящей главе будет везде предполагаться выполнение условия отсутствия постоянной составляющей (18.5). Впоследствии (глава 19) будет дан метод исследования автоколебаний при наличии постоянной составляющей, т. е. в случае невыполнения условия (18.5).
Если принять во внимание, что из (18.2) и (18.3)
то формулу (18.4) при условии (18.5) можно будет записать в виде
где q - коэффициенты гармонической линеаризации, определяемые формулами:
Итак, нелинейное выражение (18.1) при заменяется выражением (18.6), которое с точностью до высших гармоник аналогично линейному. Эта операция и называется гармонической линеаризацией. Коэффициенты постоянны при постоянных значениях , т. е. в случае периодического процесса. В переходном колебательном процессе с изменением а и со коэффициенты q и изменяются (см.гл. 20). Для разных амплитуд и частот периодических процессов коэффициенты выражения (18.6) будут различны по величине. Это очень важное для дальнейшего обстоятельство является существенным отличием гармонической линеаризации, по сравнению с обычным способом линеаризации (§ 3.1), приводящим к чисто линейным выражениям, которые применялись в предыдущих разделах книги. Указанное обстоятельство позволит путем применения к выражению (18.6) линейных методов исследования проанализировать основные свойства нелинейных систем, которые не могут быть обнаружены при обычной линеаризации.
Приведем также формулы гармонической линеаризации для более простой нелинейности:
Здесь возможны два варианта: 1) кривая имеет гистерезисную петлю (например, рис. 16.18, в, рис. 16.22, г, д), и 2) кривая не имеет гистерезисной петли (рис. 16.8, б, рис. 16.22, а и др.).
При наличии гистерезисной петли, когда фактически наблюдается зависимость от знака производной, нелинейная функция после гармонической линеаризации заменяется следующим выражением (при
при условии отсутствия постоянной составляющей:
Если же кривая не имеет гистерезисной петли, то так как при будет
(при гистерезисной петле этот интеграл не был нулем вследствие различия в очертании кривой при возрастании и убывании
Следовательно, при отсутствии гистерезисной петли нелинейное выражение (18.8) заменяется более простым:
т. е. криволинейная или ломаная характеристика с точностью до высших гармоник заменяется прямолинейной, тангенс угла наклона которой q зависит от размера амплитуды колебаний а. Другими словами, нелинейное звено уподобляется «линейному» с передаточным числом (коэффициентом усиления), зависящим от амплитуды а колебаний входной величины х.
Гистерезисная же петля вводит согласно (18.9), кроме того, еще производную, дающую отставание по фазе, так как Таким образом, нелинейное отставание по координате в виде гистерезисной петли превращается при гармонической линеаризации в эквивалентное линейное отставание по фазе.
Можно создать специальное нелинейное звено с опережающей петлей, что будет эквивалентно линейному опережению фазы при введении производной, но с тем отличием, что величина опережения фазы будет зависеть от размера амплитуды колебаний, чего нет в линейных системах.
В случаях, когда нелинейное звено описывается сложным уравнением, включающим сумму различных линейных и нелинейных выражений, каждый из нелинейных членов подвергается гармонической линеаризации по отдельности. Произведение же нелинейностей рассматривается обязательно в целом как одна сложная нелинейность. При этом могут встретиться иного характера нелинейные функции.
Например, при гармонической линеаризации второго из уравнений (16.3) придется иметь дело с функцией при . В этом случае получаем
при условии
Если же функция или функция будет единственной нелинейной функцией в уравнении нелинейного звена, то при гармонической
линеаризации можно положить и
аналогично прежним формулам (18.6) и (18.7). Но при этом величина а во всех выкладках будет амплитудой колебаний скорости а не самой координаты х. Последняя же будет иметь тогда амплитуду
При вычислении коэффициентов гармонической линеаризации по формулам (18.10) надо иметь в виду, что при симметричных нелинейных характеристиках интеграл можно получить удвоением интеграла , т. е.
а для симметричных относительно начала координат безгистерезисных характеристик при вычислении можно писать
Приведем выражения для коэффициентов некоторых простейших нелинейных звеньев. Затем их можно будет непосредственно использовать при решении различных конкретных задач.
Коэффициенты гармонической линеаризации релейных звеньев. Найдем коэффициенты и уравнений наиболее типичных релейных звеньев по формулам (18.10). Возьмем общий вид характеристики релейного звена изображаемой графиком рис. 18.1, а, где есть любое дробное число в интервале
Как частные случаи будут получены уравнения других типов релейных звеньев.
Если колебания входной величины имеют амплитуду то согласно рис. 18.1, а движения в системе не будет. Если амплитуда то переключения реле происходят в точках А, В, С, D (рис. 18.1, б), в которых имеем
Следовательно, после использования свойств каждый из интегралов (18.10) разбивается на три слагаемых:
причем первое и третье из них согласно рис. 18.1, а и будут нулями. Поэтому выражения (18.10) принимают вид
а уравнение релейного звена с характеристикой вида рис. 18.1, а будет иметь вид (18.9) с полученными здесь значениями и .
Рассмотрим частные случаи.
Для релейного звена с характеристикой без гистерезисной петли, но с зоной нечувствительности (рис. 18.1, а), полагая из вышенаписанных формул получаем
Для релейной характеристики с гистерезисной петлей типа рис. полагая имеем
Наконец, для идеального релейного звена (рис. 18.1, е), полагая находим
На последнем примере легко видеть смысл гармонической линеаризации релейной характеристики. Написанное выражение для q означает замену ломаной характеристики прямолинейной (рис. 18.1, е) с таким наклоном, чтобы эта прямая приблизительно заменяла собой тот участок ломаной который охватывается заданной амплитудой а. Отсюда становится вполне понятной обратно пропорциональная зависимость от а, даваемая формулой (18.18), так как чем больше амплитуда а колебаний входной величины тем более пологой должна быть прямая приблизительно заменяющая ломаную
Аналогично обстоит дело и с релейной характеристикой на рис. 18.1, г для которой наклон заменяющей ее прямой дается формулой (18.16). Следовательно, всякое безгистерезисное релейное звено в колебательном процессе эквивалентно такому «линейному» звену, передаточное число (коэффициент усиления) которого уменьшается с увеличением амплитуды колебаний входной величины, начиная с
Что касается релейного звена с гистерезисной петлей, то согласно (18.9) и (18.17) оно заменяется линейным звеном с аналогичным прежнему коэффициентом усиления , но, кроме того, еще с введением отрицательной производной в правой части уравнения. Введение отрицательной производной в противовес положительной (см. § 10.2) вносит отставание по фазе в реакции звена на входное воздействие. Это служит «линейным эквивалентом», заменяющим эффект действия нелинейности в виде гистерезисной петли. При этом
коэффициент при производной согласно (18.17) тоже уменьшается с увеличением амплитуды а колебаний входной величины что и понятно, так как эффект влияния гистерезисной петли на процесс колебаний в релейном звене должен быть тем меньше, чем больше амплитуда колебаний по сравнению с шириной гистерезисной петли.
Коэффициенты гармонической линеаризации других простейших нелинейных звеньев. Рассмотрим нелинейное звено с зоной нечувствительности и с насыщением (рис. 18.2, а). Согласно рис. 18.2, б, где
интеграл (18.10) на участке разбивается на пять слагаемых, причем два из них равны нулю. Поэтому
откуда с заменой получаем
где определяются формулами (18.19). Ввиду отсутствия гистерезисной петли здесь
Итак, уравнение нелинейного звена с характеристикой вида рис. 18.2, а будет где определяется выражением (18.20).
Как частный случай отсюда получается значение для звена с зоной нечувствительности без насыщения (рис. 18.2, в). Для этого в предыдущем решении нужно положить и, следовательно, Тогда
Как видим, звено с зоной нечувствительности уподобляется здесь линейному звену с уменьшенным за ее счет коэффициентом усиления. Это уменьшение коэффициента усиления значительно при малых амплитудах и невелико при больших, причем при
Гармоническая линеаризация нелинейных элементов. Этот метод используется для исследования нелинейных систем с линейной частью выше третьего порядка. В большинстве систем переходной процесс представляет собой затухающие колебания, поэтому на входе нелинейного элемента по главной обратной связи (ГОС) передаётся периодический сигнал с медленно меняющейся амплитудой и при наличии входного сигнала вместе с постоянной составляющей.
Будем считать, что на входе нелинейного элемента за некоторый малый начальный промежуток времени амплитуда и частота не измены или они соответствуют амплитуде и частоте автоколебаний системы. На выходе НЭ получим периодическую функцию, которую можно разложить в ряд Фурье. При исследовании нелинейных систем чаще всего используют только первую гармоническую составляющую, т.к. в большинстве случаев линейная часть системы является фильтром низких частот. Но для того что бы проверить это и возможности применимости этого метода исследований необходимо определить частоту автоколебаний в системе, по которой в дальнейшем определить способность линейной части отфильтровывать высшие гармоники. Для этого строят АЧХ линейной части (ЛЧ).
Пусть ЛЧ системы является фильтром НЧ, и будем считать, что колебания на входе нелинейного элемента НЭ синусоидальные, тогда выходным сигналом НЭ:
где А к и В к – коэффициенты разложения Фурье нелинейной функции:
Если нелинейная характеристика симметрична и нейтральна, то коэффициент разложения ряда Фурье В к =0 и в разложении отсутствуют чётные гармоники:
Используя эти соотношения, выразим значение синуса и косинуса через входной сигнал
Подставим эти соотношения в уравнение для выхода НЭ и учтём только первую гармонику.
Запишем это уравнение в операторной форме:
Коэффициент А 0 – амплитуда автоколебаний; q – коэффициент гармонической линеаризации по синусоидальной составляющей, он зависит от амплитуды сигнала на входе НЭ; b 1 – коэффициент гармонической линеаризации по косинусоидальной составляющей; ω 0 – амплитуда автоколебаний.
При отсутствии постоянной составляющей на входе НЭ мы получим уравнение описания поведения НЭ:
Это уравнение гармонической линеаризации НЭ.
Гармонически линеаризованный НЭ можно представить в виде:
В этом случае мы можем вывести передаточную функцию для НЭ:
при отсутствии постоянной составляющей на входе.
Коэффициент А 0 – амплитуда автоколебаний;
q – коэффициент гармонической линеаризации по синусоидальной составляющей, он зависит от амплитуды сигнала на входе НЭ;
b 1 – коэффициент гармонической линеаризации по косинусоидальной составляющей;
ω 0 – амплитуда автоколебаний.
На линейную часть системы действует выходной сигнал с НЭ, который содержит весь спектр частот разложения Фурье. В силу принципа суперпозиции можно считать, что каждая гармоника действует на линейную часть независимо от другой. Поэтому на выходе системы могут устанавливаться периодические колебания, которые будут содержать весь спектр частот, соответствующих сигналу НЭ, но амплитуда каждой гармоники будет определяться коэффициентом преобразования правой части по рассмотренной гармонике ().
Подставив АЧХ линейной части можно установить соотношение изменения амплитуд для каждой гармоники и проверить, является ли линейная часть ФНЧ (можно ли отбросить высшие гармоники).
Если установлена частота автоколебаний и известны коэффициенты гармонической линеаризации НЭ, учитывающие только первую гармонику, то частота (частоте первой гармоники). Если то можно отбросить высшие гармоники и этот метод подходит. Т.е. можно ограничиться расчетом только одной гармоники на выходе НЭ. Тогда для однозначной нечётной характеристики НЭ будет иметь:
Для гистерезисной нечётной характеристики:
В первом случае НЭ эквивалентен безинерционному звену с некоторыми особенностями – коэффициент пропорциональности зависит от амплитуды или частоты сигнала на входе НЭ.
В случае с гистерезисной нелинейности звено эквивалентно форсирующему звену. Особенность этого способа линеаризации позволяет использовать для анализа нелинейной системы частотные методы линейной теории.
Метод гармонической линеаризации (гармонического баланса ) позволяет определить условия существования и параметры возможных автоколебаний в нелинейных САУ. Автоколебания определяются предельными циклами в фазовом пространстве систем. Предельные циклы разделяют пространство (в общем случае - многомерное ) на области затухающих и расходящихся процессов. В результате расчета параметров автоколебаний можно сделать заключение о их допустимости для данной системы или о необходимости изменения параметров системы.
Метод позволяет:
Определить условия устойчивости нелинейной системы;
Найти частоту и амплитуду свободных колебаний системы;
Синтезировать корректирующие цепи, для обеспечения требуемых параметров автоколебаний;
Исследовать вынужденные колебания и оценивать качество переходных процессов в нелинейных САУ.
Условия применимости метода гармонической линеаризации.
1) При использовании метода предполагается, что линейная часть системы устойчива или нейтральна.
2) Сигнал на входе нелинейного звена близок по форме к гармоническому сигналу. Это положение требует пояснений.
На рис.1 представлены структурные схемы нелинейной САУ. Схема состоит из последовательно соединенных звеньев: нелинейного звена y=F(x) и линейно-
го, которое описывается дифференциальным уравнением
При y = F(g - x) = g - x получим уравнение движения линейной системы.
Рассмотрим свободное движение, т.е. при g(t) º 0. Тогда,
В случае, когда в системе существуют автоколебания, свободное движение системы является периодическим. Непериодическое движение с течением времени оканчивается остановкой системы к некотором конечном положении (обычно, на специально предусмотренном ограничителе).
При любой форме периодического сигнала на входе нелинейного элемента сигнал на его выходе будет содержать кроме основной частоты высшие гармоники. Предположение о том, что сигнал на входе нелинейной части системы можно считать гармоническим, т.е., что
x(t)@ a×sin(wt),
где w=1/T, T - период свободных колебаний системы, равносильно предположению о том, что линейная часть системы эффективно фильтрует высшие гармоники сигнала y(t) = F(x (t)).
В общем случае при действии на входе нелинейного элемента гармонического сигнала x(t) сигнал на выходе может быть преобразован по Фурье:
Коэффициенты ряда Фурье
Для упрощения выкладок положим C 0 =0, т.е., что функция F(x) симметрична относительно начала координат. Такое ограничение не обязательно и сделано анализа. Появление коэффициентов C k ¹ 0 означает, что, в общем случае нелинейное преобразование сигнала сопровождается и фазовыми сдвигами преобразуемого сигнала. В частности, это имеет место в нелинейностях с неоднозначными характеристиками (с различного рода гистерезисными петлями), причем как запаздывание так и, в некоторых случаях, опережение по фазе .
Предположение об эффективной фильтрации означает, что амплитуды высших гармоник на выходе линейной части системы малы, то есть
Выполнению этого условия способствует то, что во многих случаях амплитуды гармоник уже непосредственно на выходе нелинейности оказываются существенно меньше амплитуды первой гармоники. Например, на выходе идеального реле при гармоническом сигнале на входе
y(t)=F(с×sin(wt))=a×sign(sin(wt))
четные гармоники отсутствуют, а амплитуда третьей гармоники в три раза меньше амплитуды первой гармоники
Сделаем оценку степени подавления высших гармоник сигнала в линейной части САУ. Для этого сделаем ряд предположений.
1) Частота свободных колебаний САУ приблизительно равна частоте среза ее линейной части. Отметим, что частота свободных колебаний нелинейной САУ может существенно отличаться от частоты свободных колебаний линейной системы так, что это допущение не всегда корректно .
2) Показатель колебательности САУ примем равным M=1.1.
3) ЛАХ в окрестностях частоты среза (w с) имеет наклон -20 дБ/дек. Границы этого участка ЛАХ связаны с показателем колебательности соотношениями
4) Частота w max является сопрягающей с участком ЛФХ, так что при w > w max наклон ЛАХ не менее минус 40 дБ/дек.
5) Нелинейность - идеальное реле с характеристикой y = sign(x) так, что на ее выходе нелинейности будут присутствовать только нечетные гармоники.
Частоты третьей гармоники w 3 = 3w c , пятой w 5 = 5w с,
lgw 3 = 0.48+lgw c ,
lgw 5 = 0.7+lgw c .
Частота w max = 1.91w с, lgw max = 0.28+lgw c . Сопрягающая частота отстоит от частоты среза на 0.28 декады.
Уменьшение амплитуд высших гармоник сигнала при их прохождении через линейную часть системы составит для третьей гармоники
L 3 = -0.28×20-(0.48-0.28)×40 = -13.6 дБ, то есть в 4.8 раза,
для пятой - L 5 = -0.28×20-(0.7-0.28)×40 = -22.4 дБ, то есть в 13 раз.
Следовательно, сигнал на выходе линейной части окажется близким к гармоническому
Это эквивалентно предположению, что система является низкочастотным фильтром.
Министерство образования и науки Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет
Балаковский институт техники, технологии и управления
Метод гармонической линеаризации
Методические указания к лабораторной работе по курсу «Теория автоматического управления» для студентов специальности 210100
Одобрено
редакционно –издательским советом
Балаковского интститута техники,
технологии и управления
Балаково 2004
Цель работы: Изучение нелинейных систем с помощью метода гармонической линеаризации (гармонического баланса), определение коэффициентов гармонической линеаризации для различных нелинейных звеньев. Получение навыков по нахождению параметров симметричных колебаний постоянной амплитуды и частоты (автоколебаний), используя алгебраический, частотный способы, а также с помощью критерия Михайлова.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Метод гармонической линеаризации относится к приближенным методам исследования нелинейных систем. Он позволяет достаточно просто и с приемлемой точностью оценивать устойчивость нелинейных систем, определять частоту и амплитуду установившихся в системе колебаний.
Предполагается, что исследуемая нелинейная САУ может быть представлена в следующем виде
причем нелинейная часть должна иметь одну нелинейность
. (1)
Эта нелинейность может быть как непрерывной, так и релейной, однозначной или гистерезисной.
Любую функцию или сигнал можно разложить в ряд по системе линейно-независимых, в частном случае ортонормированных функций. В качестве такого ортогонального ряда может быть использован ряд Фурье.
Разложим в ряд Фурье выходной сигнал нелинейной части системы
, (2)
здесь - коэффициенты Фурье,
,
,
. (3)
Таким образом, сигнал согласно (2) может быть представлен в
виде бесконечной суммы гармоник с возрастающими частотами 
и т. д. Этот сигнал поступает на
вход линейной части нелинейной системы.
Обозначим передаточную функцию линейной части
,
(4)
причем степень полинома числителя должна быть меньше степени полинома знаменателя. В этом случае АЧХ линейной части имеет вид
где 1 - не имеет полюсов, 2 - имеет полюс или полюса.
Для АЧХ справедливо записать
Таким образом, линейная часть нелинейной системы является фильтром высоких частот. В этом случае линейная часть будет пропускать без ослабления только низкие частоты, высокие же по мере роста частоты будут существенно ослабляться.
В методе гармонической линеаризации делается предположение о том, что линейная часть системы будет пропускать только постоянную составляющую сигнала и первую гармонику. Тогда сигнал на выходе линейной части будет иметь вид
Этот сигнал проходит по всему замкнутому контуру системы Рис.1 и на выходе нелинейного элемента без учета более высоких гармоник, согласно (2) имеем
.
(7)
При исследовании нелинейных систем с помощью метода гармонической линеаризации возможны случаи симметричных и несимметричных колебаний. Рассмотрим случай симметричных колебаний. Здесь и.
Введем следующие обозначения
,
.
Подставив их в (7), получим . (8)
С учетом того, что
,
, где ,
. (9)
Согласно (3) и (8) при
,
. (10)
Выражение (9) является гармонической
линеаризацией нелинейности устанавливает
линейную связь входной переменной и выходной при .
Величины и называются
коэффициентами гармонической линеаризации.
Необходимо отметить, что уравнение (9) является линейным для конкретных величин и (амплитуды и частоты гармонических колебаний в системе). Но в целом оно сохраняет нелинейные свойства, так как коэффициенты различны для различных и . Эта особенность и позволяет исследовать с помощью метода гармонической линеаризации свойства нелинейных систем [ Попов Е.П.].
В случае несимметричных колебаний гармоническая линеаризация нелинейности приводит к линейному уравнению
,
,
. (12)
Так же как и уравнение (9), линеаризованное уравнение (11) сохраняет свойства нелинейного элемента, так как коэффициенты гармонической линеаризации , , а так же постоянная составляющая зависят и от смещения и от амплитуды гармонических колебаний .
Уравнения (9) и (11) позволяют получить передаточные функции гармонически линеаризованных нелинейных элементов. Так для симметричных колебаний
Проиллюстрируем вычисление коэффициентов гармонической линеаризации на нескольких примерах: сначала для симметричных колебаний, а затем для несимметричных. Предварительно заметим, что если нечетно-симметричная нелинейность F(x) однозначна, то, согласно (4.11) и (4.10), получаем
причем при вычислении q (4.11) можно ограничиться интегрированием на четверти периода, учетверив результат, а именно
Для петлевой нелинейности F(x) (нечетно-симметричной) будет иметь место полное выражение (4.10)
причем можно пользоваться формулами
т. е. удвоением результата интегрирования на полупериоде.
Пример 1. Исследуем кубическую нелинейность (рис. 4.4, я):
Зависимость q(a) показана на рис. 4.4, б. Из рис. 4.4, а видно, что при заданной амплитуде я прямая q(a)x осредняет криволинейную зависимость F(x) на данном
участке -а£ х £. а. Естественно, что крутизна q(a) наклона этой осредняющей прямой q{a}x увеличивается с увеличением амплитуды а (для кубической характеристики это увеличение происходит по квадратичному закону).
Пример 2. Исследуем петлевую релейную характеристику (рис. 4.5, а). На рис. 4.5,6 представлена подынтегральная функция F(a sin y) для формул (4.21). Переключение реле имеет место при ½х ½= b, Поэтому в момент переключения величина y1 определяется выражением sin y1= b/а. По формулам (4.21) получаем (для a ³b)
На рис. 4.5, б изображены графики q(а) и q"(a). Первый из них показывает изменение крутизны наклона осредняющей прямой q(а )x с изменением а (см. рис. 4.5, а). Естественно, что q(a )à0 при аॠпри, так как сигнал на выходе остается постоянным (F(x )=c)при любом неограниченном увеличении входного сигнала х. Из физических соображений ясно также, почему q" <0. Это коэффициент при производной в формуле (4.20). Положительный знак давал бы опережение сигнала на выходе, в то время как гистерезисная петля дает запаздывание. Поэтому естественно, что q" < 0. Абсолютное значение q" уменьшается с увеличением амплитуды a, так как ясно, что петля будет занимать тем меньшую часть «рабочего участка» характеристики F(x ), чем больше амплитуда колебаний переменной х.
Амплитудно-фазовая характеристика такой нелинейности (рис. 4.5, а), согласно (4.13). представляется в виде
причем амплитуда и фаза первой гармоники на выхода нелинейности имеют соответственно вид
где q и q" определены выше (рис. 4.5, б). Следовательно, гармоническая линеаризация переводит нелинейное координатное запаздывание (гистерезисную петлю) в эквивалентное запаздывание по фазе, характерное для линейных систем, по с существенным отличием-зависимостью фазового сдвига от амплитуды входных колебаний, чего нет в линейных системах.
Пример 3. Исследуем однозначные релейные характеристики (рис. 4.6, а, в). Аналогично предыдущему получаем соответственно
что изображено на рис. 4.6, б, а.
Пример 4. Исследуем характеристику с зоной нечувствительности, линейным участком и насыщением (рис. 4.7, а). Здесь q" = 0, а коэффициент q (a ) имеет два варианта значений в соответствии срис. 4.7, б, где для них построена F (a sin y):
1) при b1 £ а £ b2, согласно (4.19), имеем
что сучетом соотношения a sin y1 = b 1 дает
2) при а ³ b2
что с учетом соотношения a sin y2 = b2 даёт
Графически результат представлен на рис. 4.7, а.
Пример 5. Как частные случаи, соответствующие коэффициенты q(a) для двух характеристик (рис. 4,8, а, б) равны
что изображено графически на рис. 4.8, б, г. При этом для характеристики с насыщением (рис. 4.8, а) имеем q= k при 0 £ a £ b.
Покажем теперь примеры вычисления коэффициентов гармонической линеаризации для несимметричных колебаний при тех же нелинейностях.
Пример 6. Для случая кубической нелинейности F(x ) = kx 3 по формуле (4.16) имеем
а по формулам (4.17)
Пример 7. Для петлевой релейной характеристики (рис. 4.5, а) по тем же формулам имеем
Пример 8. Для характеристики с зоной нечувствительности (рис. 4.1:1) будут иметь место те же выражения F° и q. Графики их представлены на рис. 4.9, а, б. При этом q" == 0. Для идеальной же релейной характеристики (рис. 4.10) получаем
что изображено на рис. 4.10, а и б.
Пример 9. Для характеристики с линейным участком ц насыщением (рис.4.11,а) при а ³ b+½x 0 ½ имеем
Эти зависимости представлены в виде графиков на рис. 4.11, б, в.
Пример 10. Для несимметричной характеристики
(рис. 4. 12, а) по формуле (4.l6) находим
а по формулам (4.17)
Результаты изображены графически на рис. 4.12, б и в.
Полученные в этих примерах выражения и графики коэффициентов гармонической линеаризации будут использованы ниже при решении задач по исследованию
автоколебаний, вынужденных колебаний и процессов управления.
Базируясь на свойстве фильтра линейной части системы (лекция 12), ищем периодическое решение нелинейной системы (рис. 4.21) на входе нелинейного элемента приближенно в виде
х = a sin wt (4.50)
с неизвестными а и w. Задана форма нелинейности у= F(x ) и передаточная функция линейной части
Производится гармоническая линеаризация нелинейности
что приводит к передаточной функции
Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи системы получает вид
Периодическое решение линеаризованной системы (4.50) получается при наличии в характеристическом уравнении замкнутой системы пары чисто мнимых корней.
А это по критерию Найквиста соответствует прохождению W (j w) через точку -1. Следовательно, периодическое решение (4.50) определяется равенством
Уравнение (4.51) определяет искомые амплитуду а и частоту w периодического решения. Это уравнение решается графически следующим образом. На комплексной плоскости (U, V) вычерчивается амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части Wл(j w)(рис. 4.22), а также обратная амплитудно-фазовая характеристика нелинейности с обратным знаком -1/ Wн(a ). Точка В их пересечения (рис. 4.22) и определяет величины а и w, причем значение а отсчитывается по кривой -1/ Wн (a), а значение w - по кривой Wл (jw).
Вместо этого можно пользоваться двумя скалярными уравнениями, вытекающими из (4.51) и (4.52):
которые также определяют две искомые величины а и w.
Последними двумя уравнениями удобнее пользоваться в логарифмическом масштабе, привлекая логарифмические
частотные характеристики линейной части. Тогда вместо (4.53) и (4.54) будем иметь следующие два уравнения:
На рис. 4.23 слева изображены графики левых частей уравнений (4.55) и (4.56), а справа-правых частей этих уравнений. При этом по оси абсцисс слева частота w откладывается, как обычно, в логарифмическом масштабе, а справа-амплитуда а в натуральном масштабе. Решением этих уравнений будут такие значения а и w, чтобы при них одновременно соблюдались оба равенства: (4.55) и (4.56). Такое решение показано на рис. 4.23 тонкими линиями в виде прямоугольника.
Очевидно, что сразу угадать это решение не удастся. Поэтому делаются попытки, показанные штриховыми линиями. Последние точки этих пробных прямоугольников М1 и М2 не попадают на фазовую характеристику нелинейности. По если они расположены по обе стороны характеристики, как на рис. 4.23, то решение находится интерполяцией - путем проведения прямой ММ1.
Нахождение периодического решения.упрощается а случае однозначной нелинейности F(х ). Тогда q" = 0 и уравнения (4.55) и (4.56) принимают вид
Решение показано на рис. 4.24.
Рис. 4.24.
После определения периодического решения надо исследовать его устойчивость. Как уже говорилось, периодическое решение имеет место в случае, когда амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой цепи
проходит через точку -1. Дадим амплитуде отклонение Dа . Система будет возвращаться к периодическому решению, если при Dа > 0 колебания затухают, а при Dа < 0 - расходятся. Следовательно, при Dа > 0 характеристика W(jw, а ) должна деформироваться (рис. 4.25) так, чтобы при Dа > 0 критерий устойчивости Найквиста соблюдался, а при Dа < 0 - нарушался.
Итак требуется, чтобы на данной частоте w было
Отсюда следует, что на рис. 4.22 положительный отсчет амплитуды а вдоль кривой -1/Wн (а ) должен быть направлен изнутри вовне через кривую Wл (jw), как там и показано стрелкой. В противном случае периодическое решение неустойчиво.
Рассмотрим примеры.
Пусть в следящей системе (рис. 4.13, а) усилитель имеет релейную характеристику (рис. 4.17, а). Па рис. 4.17, б для нее показан график коэффициента гармонической линеаризации q(а ), причем q’(а ) =0. Для определения периодического решения частотным способом, согласно рис. 4.22, надо исследовать выражение
Из формулы (4.24) получаем для данной нелинейности
График этой функции изображен па рис. 4.26.
Передаточная функция линейной части имеет вид
Амплитудно-фазовая характеристика для нее приведена на рис. 4.27. Функция же -1/ Wн (а ), являясь в данном случае вещественной (рис. 4.26), укладывается вся на отрицательной части вещественной оси (рис. 4.27). При этом на участке изменения амплитуды b £ a £ b амплитуда отсчитывается слева извне внутрь кривой Wл(jw), а на участке а > b - в обратную сторону. Следовательно, первая точка пересечения (а 1) дает неустойчивое периодическое решение, а вторая (а 2) - устойчивое (автоколебания). Это согласуется с прежним решением (пример 2 лекция 15, 16).
Рассмотрим также случай петлевой характеристики реле (рис. 4.28, а) в той же следящей системе (рис. 4.13, а). Амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части та же (рис. 4.28, б). Выражение же для кривой –1/Wн(а ), согласно (4.52) и (4.23), принимает вид
Это-прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 4.28, б ), с отсчетом амплитуды а справа налево. Пересечение даст устойчивое периодическое решение (автоколебания). Чтобы получить графики зависимости амплитуды и частоты
от k л, представленные на рис. 4.20, нужно на рис. 4.28 построить серию кривых Wл(jw) для каждой величины k л и найти в их точках пересечения с прямой –1/Wн(а ) соответствующие значения а и w.
