А также научились решать типовые задачи с независимыми событиями, и сейчас последует гораздо более интересное продолжение, которое позволит не только освоить новый материал, но и, возможно, окажет практическую житейскую помощь.
Кратко повторим, что такое независимость событий: события и являются НЕзависимыми, если вероятность любого из них не зависит от появления либо непоявления другого события. Простейший пример – подбрасывание двух монет. Вероятность выпадения орла либо решки на одной монете никак не зависит от результата броска другой монеты.
Понятие зависимости событий вам тоже знакомо и настал черёд заняться ими вплотную.
Сначала рассмотрим традиционный набор, состоящий из двух событий: событие является зависимым , если помимо случайных факторов его вероятность зависит от появления либо непоявления события . Вероятность события , вычисленная в предположении того, что событие уже произошло , называется условной вероятностью наступления события и обозначается через . При этом события и называют зависимыми событиями (хотя, строго говоря, зависимо только одно из них) .
Карты в руки:
Задача 1
Из колоды в 36 карт последовательно извлекаются 2 карты. Найти вероятность того, что вторая карта окажется червой, если до этого:
а) была извлечена черва;
б) была извлечена карта другой масти.
Решение : рассмотрим событие: – вторая карта будет червой. Совершенно понятно, что вероятность этого события зависит от того, черву или не черву вытянули ранее.
а) Если сначала была извлечена черва (событие ), то в колоде осталось 35 карт, среди которых теперь находится 8 карт червовой масти. По классическому определению
:
при условии
, что до этого тоже была извлечена черва.
б) Если же сначала была извлечена карта другой масти (событие ), то все 9 черв остались в колоде. По классическому определению
:
– вероятность того, что вторая карта окажется червой при условии
, что до этого была извлечена карта другой масти.
Всё логично – если вероятность извлечения червы из полной колоды составляет 
, то при извлечении следующей карты аналогичная вероятность изменится: в первом случае – уменьшится 
(т.к. черв стало меньше), а во втором – возрастёт: 
(т.к. все червы остались в колоде).
Ответ :
Зависимых событий, разумеется, может быть и больше. Пока задача не остыла, добавим ещё одно: – третьей картой будет извлечена черва. Предположим, что произошло событие , а затем событие ; тогда в колоде осталось 34 карты, среди которых 7 черв. По классическому определению
:
– вероятность наступления события при условии
, что до этого были извлечены две червы.
Для самостоятельной тренировки:
Задача 2
В конверте находится 10 лотерейных билетов, среди которых 3 выигрышных. Из конверта последовательно извлекаются билеты. Найти вероятности того, что:
а) 2-й извлечённый билет будет выигрышным, если 1-й был выигрышным;
б) 3-й будет выигрышным, если предыдущие два билета были выигрышными;
в) 4-й будет выигрышным, если предыдущие билеты были выигрышными.
Краткое решение с комментариями в конце урока.
А теперь обратим внимание на один принципиально важный момент: в рассмотренных примерах требовалось найти лишь условные вероятности, при этом предыдущие события считались достоверно состоявшимися . Но ведь в действительности и они являются случайными! Так, в «разогретой» задаче извлечение червы из полной колоды – есть событие случайное, вероятность которого равна .
На практике гораздо чаще требуется отыскать вероятность совместного появления зависимых событий. Как, например, найти вероятность события , состоящего в том, что из полной колоды будет извлечена черва и затем ещё одна черва? Ответ на этот вопрос даёт
теорема умножения вероятностей зависимых событий
: вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло:
В нашем случае:
– вероятность того, что из полной колоды будут извлечены 2 червы подряд.
Аналогично:
– вероятность того, что сначала будет извлечена карта другой масти и
затем черва.
Вероятность события получилась заметно больше вероятности события , что, в общем-то, было очевидно безо всяких вычислений.
И, само собой, не нужно питать особых надежд, что из конверта с десятью лотерейными билетами (Задача 2)
вы вытяните 3 выигрышных билета подряд:
, впрочем, это ещё щедрый шанс.
Да, совершенно верно – теорема умножения вероятностей зависимых событий естественным образом распространяется и на бОльшее их количество.
Закрепим материал несколькими типовыми примерами:
Задача 3
В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны наудачу один за другим извлекают два шара, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что:
а) оба шара будут белыми;
б) оба шара будут чёрными;
в) сначала будет извлечён белый шар, а затем – чёрный.
Обратите внимание на уточнение «не возвращая их обратно». Этот комментарий дополнительно подчёркивает тот факт, что события зависимы. Действительно, а вдруг извлечённые шары возвращают обратно? В случае возвратной выборки вероятности извлечения чёрного и белого шара меняться не будут, а в такой задаче уже следует руководствоваться теоремой умножения вероятностей НЕзависимых событий .
Решение : всего в урне: 4 + 7 = 11 шаров. Поехали:
а) Рассмотрим события – первый шар будет белым, – второй шар будет белым и найдём вероятность события , состоящего в том, что 1-й шар будет белым и 2-й белым.
По классическому определению вероятности: . Предположим, что белый шар извлечён, тогда в урне останется 10 шаров, среди которых 3 белых, поэтому:
– вероятность извлечения белого шара во 2-м испытании при условии, что до этого был извлечён белый шар.
– вероятность того, что оба шара будут белыми.
б) Найдём вероятность события , состоящего в том, что 1-й шар будет чёрным и 2-й чёрным
По классическому определению: – вероятность того, что в 1-м испытании будет извлечён чёрный шар. Пусть извлечён чёрный шар, тогда в урне останется 10 шаров, среди которых 6 чёрных, следовательно: 
– вероятность того, что во 2-м испытании будет извлечён чёрный шар при условии, что до этого был извлечен чёрный шар.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– вероятность того, что оба шара будут чёрными.
в) Найдём вероятность события (сначала будет извлечён белый шар и затем чёрный)
После извлечения белого шара (с вероятностью ) в урне останется 10 шаров, среди которых 3 белых и 7 чёрных, таким образом: – вероятность того, что во 2-м испытании будет извлечён чёрный шар при условии, что до этого был извлечен белый шар.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– искомая вероятность.
Ответ
: 
Данную задачу нетрудно проверить через теорему сложения вероятностей событий, образующих полную группу
. Для этого найдём вероятность 4-го недостающего события: 
– того, что сначала будет извлечён чёрный шар и
затем белый.
События 
образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей должна равняться единице:
,что и требовалось проверить.
И сразу же предлагаю проверить, насколько хорошо вы усвоили изложенный материал:
Задача 4
Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут извлечены два туза подряд?
Задача 5
В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно извлекают три шара. Найти вероятность того, что
а) третий шар окажется белым, если до этого был извлечён черный и красный шар;
б) первый шар окажется черным, второй – красным и третий – белым.
Решения и ответы в конце урока.
Надо сказать, что многие из рассматриваемых задач разрешимы и другим способом, но чтобы не возникло путаницы, пожалуй, вообще о нём умолчу.
Наверное, все заметили, что зависимые события возникают в тех случаях, когда осуществляется некоторая цепочка действий. Однако сама по себе последовательность действий ещё не гарантируют зависимость событий. Пусть, например, студент наугад отвечает на вопросы какого-нибудь теста – данные события хоть и происходят одно за другим, но незнание ответа на один вопрос никак не зависит от незнания других ответов =) Хотя, закономерности тут, конечно, есть =) Тогда совсем простой пример с неоднократным подбрасыванием монеты – сей увлекательный процесс даже так и называется: повторные НЕзависимые испытания .
Я как мог, старался отсрочить этот момент и подбирать разнообразные примеры, но если в задачах на теорему умножения независимых событий хозяйничают стрелки, то здесь происходит самое настоящее нашествие урн с шарами =) Поэтому никуда не деться – снова урна:
Задача 6
Из урны, в которой находится 6 белых и 4 черных шара, извлекаются наудачу один за другим три шара. Найти вероятность того, что:
а) все три шара будут черными;
б) будет не меньше двух шаров черного цвета.
Решение :всего: 6 + 4 = 10 шаров в урне.
Событий в данной задаче будет многовато, и в этой связи целесообразнее использовать смешанный стиль оформления, обозначая прописными латинскими буквами только основные события. Надеюсь, вы уже поняли, по какому принципу подсчитываются условные вероятности.
а) Рассмотрим событие: – все три шара будут черными.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
б) Второй пункт интереснее, рассмотрим событие: – будет не меньше двух шаров черного цвета. Данное событие состоит в 2 несовместных исходах: либо все шары будут чёрными (событие ) либо 2 шара будут чёрным и 1 белым – обозначим последнее событие буквой .
Событие включается в себя 3 несовместных исхода:
в 1-м испытании извлечён белый и
во 2-м и
в 3-м испытаниях – чёрные шары
или
и
во 2-м – БШ и
в 3-м – ЧШ
или
в 1-м испытании извлечён ЧШ и
во 2-м – ЧШ и
в 3-м – БШ.
Желающие могут ознакомиться с более трудными примерами из сборника Чудесенко , в которых перекладываются несколько шаров. Особым любителям предлагаю задачи повышенной комбинационной сложности – с двумя последовательными перемещениями шаров из 1-й во 2-ю урну, из 2-й в 3-ю и финальным извлечением шара из последней урны – смотрите последние задачи файла Дополнительные задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей . Кстати, там немало и других интересных заданий.
А в заключение этой статьи мы разберём прелюбопытнейшую задачу, которой я вас заманивал на самом первом уроке =) Даже не разберём, а проведём небольшое практическое исследование. Выкладки в общем виде будут слишком громоздкие, поэтому рассмотрим конкретный пример:
Петя сдаёт экзамен по теории вероятностей, при этом 20 билетов он знает хорошо, а 10 плохо. Предположим, в первый день экзамен сдаёт часть группы, например, 16 человек, включая нашего героя. В общем, ситуация до боли знакома: студенты один за другим заходят в аудиторию и тянут билеты.
Очевидно, что последовательное извлечение билетов представляет собой цепь зависимых событий, и возникает насущный вопрос : в каком случае Пете с бОльшей вероятностью достанется «хороший» билет – если он пойдёт «в первых рядах», или если зайдёт «посерединке», или если будет тянуть билет в числе последних? Когда лучше заходить?
Сначала рассмотрим «экспериментально чистую» ситуацию, в которой Петя сохраняет свои шансы постоянными – он не получает информацию о том, какие вопросы уже достались однокурсникам, ничего не учит в коридоре, ожидая своей очереди, и т.д.
Рассмотрим событие: – Петя зайдёт в аудиторию самым первым и вытянет «хороший» билет. По классическому определению вероятности: 
.
Как изменится вероятность извлечения удачного билета, если пропустить вперёд отличницу Настю? В этом случае возможны две несовместные гипотезы:
– Настя вытянет «хороший» (для Пети) билет;
– Настя вытянет «плохой» билет, т.е. увеличит шансы Пети.
Событие же (Петя зайдёт вторым и вытянет «хороший» билет) становится зависимым .
1) Предположим, что Настя с вероятностью 
«увела» у Пети один удачный билет. Тогда на столе останутся 29 билетов, среди которых 19 «хороших». По классическому определению вероятности:
2) Теперь предположим, что Настя с вероятностью 
«избавила» Петю от 1-го «плохого» билета. Тогда на столе останутся 29 билетов, среди которых по-прежнему 20 «хороших». По классическому определению:
Используя теоремы сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей зависимых событий, вычислим вероятность того, что Петя вытянет «хороший» билет, будучи вторым в очереди:
Вероятность… осталось той же! Хорошо, рассмотрим событие: – Петя пойдёт третьим, пропустив вперёд Настю и Лену, и вытащит «хороший» билет.
Здесь гипотез будет побольше: дамы могут «обокрасть» джентльмена на 2 удачных билета, либо наоборот – избавить его от 2 неудачных, либо извлечь 1 «хороший» и 1 «плохой» билет. Если провести аналогичные рассуждения, воспользоваться теми же теоремами, то… получится такое же значение вероятности !
Таким образом, чисто с математической точки зрения, без разницы, когда идти – первоначальные вероятности останутся неизменными. НО . Это только усреднённая теоретическая оценка, так, например, если Петя пойдёт последним, то это вовсе не значит, что ему останутся на выбор 10 «хороших» и 5 «плохих» билетов в соответствии с его изначальными шансами. Данное соотношение может варьироваться в лучшую или худшую сторону, однако всё же маловероятно, что среди билетов останется «одна халява», или наоборот – «сплошной ужас». Хотя «уникальные» случаи не исключены – всё-таки тут не 3 миллиона лотерейных билетов с практически нулевой вероятностью крупного выигрыша. Поэтому «невероятное везение» или «злой рок» будут слишком уж преувеличенными высказываниями. Даже если Петя знает всего лишь 3 билета из 30, то его шансы составляют 10%, что заметно выше нуля. И из личного опыта расскажу обратный случай: на экзамене по аналитической геометрии я хорошо знал 24 вопроса из 28, так вот – в билете мне попались два «плохих» вопроса; вероятность сего события подсчитайте самостоятельно:)
Математика и «чистый эксперимент» – это хорошо, но какой стратегии и тактики всё же выгоднее придерживаться в реальных условиях ? Безусловно, следует принять во внимание субъективные факторы, например, «скидку» преподавателя для «храбрецов» или его усталость к концу экзамена. Зачастую эти факторы могут быть даже решающими, но в заключительных рассуждениях я постараюсь не сбрасывать со счетов и дополнительные вероятностные аспекты:
Если Вы готовы к экзамену хорошо, то, наверное, лучше идти «в первых рядах». Пока билетов полный комплект, постулат «маловозможные события не происходят » работает на Вас гораздо в бОльшей степени. Согласитесь, что намного приятнее иметь соотношение «30 билетов, среди которых 2 плохих», чем «15 билетов, среди которых 2 плохих». А то, что два неудачных билета на отдельно взятом экзамене (а не по средней теоретической оценке!) так и останутся на столе – вполне и вполне возможно.
Теперь рассмотрим «ситуацию Пети» – когда студент готов к экзамену достаточно хорошо, но с другой стороны, и «плавает» тоже неплохо. Иными словам, «больше знает, чем не знает». В этом случае целесообразно пропустить вперёд 5-6 человек, и ожидать подходящего момента вне аудитории. Действуйте по ситуации. Довольно скоро начнёт поступать информация, какие билеты вытянули однокурсники (снова зависимые события!) , и на «заигранные» вопросы можно больше не тратить силы – учите и повторяйте другие билеты, повышая тем самым первоначальную вероятность своего успеха. Если «первая партия» экзаменующихся «избавила» вас сразу от 3-4 трудных (лично для Вас) билетов, то выгоднее как можно быстрее попасть на экзамен – именно сейчас шансы значительно возросли. Постарайтесь не упускать момент – всего несколько пропущенных вперёд человек, и преимущество, скорее всего, растает. Если же наоборот, «плохих» билетов вытянули мало – ждите. Через несколько человек эта «аномалия» опять же с большой вероятностью, если не исчезнет, то сгладится в лучшую сторону. В «обычном» и самом распространённом случае выгода тоже есть: расклад «24 билета/8 плохих» будет лучше соотношения «30 билетов/10 плохих». Почему? Трудных билетов теперь не десять, а восемь! С удвоенной энергией штудируем материал!
Если Вы готовы неважно или плохо, то само собой, лучше идти в «последних рядах» (хотя возможны и оригинальные решения, особенно, если нечего терять) . Существует небольшая, но всё же ненулевая вероятность, что Вам останутся относительно простые вопросы + дополнительная зубрёжка + шпоры, которые отдадут отстрелявшиеся сокурсники =) И, да – в совсем критической ситуации есть ещё следующий день, когда экзамен сдаёт вторая часть группы;-)
Замечание. В основе определения вероятности события лежит некоторая совокупность условий . Если никаких ограничений, кроме условий при вычислении вероятности не налагается, то такие вероятности называются безусловными . Однако в ряде случаев приходится рассматривать вероятности событий при дополнительном условии, что произошло некоторое событие В.
Определение 1. Вероятность события А , вычисленная при условии, что имело место другое событие В , называется условной вероятностью события А и обозначается .
Замечание. Строго говоря, безусловные вероятности также являются условными, так как исходным моментом построенной теории было предположение о существовании некоторого неизменного комплекса условий .
Пример 1. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших на них очков равна 8 (событие А), если известно, что эта сумма есть чётное число (событие В)?
Решение. Построить пространство исходов, найти безусловную вероятность и условную вероятность .
Пример 2. Из колоды карт последовательно вынули 2 карты.
Найти :
а) безусловную вероятность того, что вторая карта окажется тузом (неизвестно, какая карта вышла вначале);
б) условную вероятность того, что вторая карта будет тузом, если первоначально был вынут туз.
Решение. а) Обозначим А - событие, состоящее в появлении туза на втором месте, В - событие, состоящее в появлении туза на первом месте. Событии А можно представить в виде . В силу несовместности событий и имеем . Общее число случаев вынуть из колоды в 36 карт 2 карты (выборка без повторений с учетом порядка!). Событию будут благоприятны исхода, а событию будут благоприятны исхода. Тогда .
б) Если первая вынутая карта - туз, то в колоде осталось 35 карт и среди них только 3 туза. Следовательно .
Общее решение задачи о нахождении условной вероятности для классического определения вероятности:
Пусть из единственно возможных, несовместных и равновероятных событий , , …, событию А благоприятствует m событий, событию В - k событий, событию АВ - r событий (, ). Если событий В произошло, то это означает, что наступило одно из событий , благоприятных событию В. При этом условии событию А благоприятствуют r и только r событий , благоприятных АВ. Таким образом . (1)
Аналогично, если , то . (1’)
Если В (соответственно, А) есть невозможное событие, то равенство (1) (соответственно (1’)) теряет смысл.
При каждое из равенств (1) и (1’) равносильно так называемой теореме умножения вероятностей.
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения событий А и В равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, при условии, что первое произошло: (2).
Доказательство теоремы умножения вероятностей для классической схемы случаев . Пусть из единственно возможных, несовместных и равновероятных событий , , …, событию А благоприятствует m событий, событию В - k событий, событию АВ - r событий (, ). Тогда , , а (из общего решения задачи о нахождении условной вероятности). Подставляя полученные значения вероятностей в формулу (2), получим тождество. Теорема доказана.
Замечание. Теорема умножения справедлива и в том случае, когда одно из событий А или В есть невозможное событие, так как в этом случае вместе с имеют место равенства и .
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.
Пример 3. В ящике находится 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в ящик. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар, при втором - черный и при третьем - синий.
Решение. Пусть событие А - при первом испытании появится белый шар, событие В - при втором испытании появится черный шар; событие С - при третьем испытании появится синий шар. Вероятность появления белого шара при первом испытании . Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, то есть условная вероятность . Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, а при втором черный: . Так как события А, В и С совместны, то искомая вероятность
Определение 2. Событие А называется независимым от события В , если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет:
(наступление события В не меняет вероятности события А).
Определение 3. Событие А называется зависимым от события В , если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Замечание 1. Если событие А независимо от события В, то в силу (2) имеет место равенство Отсюда следует, что , (4)
Т.е. событие В также независимо от А. Таким образом, при сделанном предположении свойство независимости событий взаимно.
Замечание 2. Понятие независимости событий играет значительную роль в теории вероятностей и её приложениях. В практических вопросах для определения независимости событий редко обращаются к выполнению равенств (3) и (4). Обычно для этого пользуются интуитивными соображениями, основанными на опыте (пример с монетой и др.). Для независимых событий теорема умножения вероятностей имеет наиболее простой вид.
Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:
Замечание 3. Если независимость событий определить посредством равенства , то это определение верно всегда, в том числе и тогда, когда и .
Определение 4. События , , …, называются независимыми в совокупности , если для любого события из их числа и произвольных , , …, взаимно независимы.
Замечание 4. В силу замечания 3 это определение эквивалентно следующему.
Определение 4. При любых и .
Замечание 5. Для независимости в совокупности нескольких событий недостаточно их попарной независимости.
Пример. Грани тетраэдра окрашены: 1-я - в красный цвет, 2-я - в зелёный, 3-я - в синий, 4-я - во все эти 4 цвета (АВС). Легко видеть, что вероятность того, что грань, на которую упадёт тетраэдр при бросании, имеет красный цвет, равна 0,5: граней 4, 2 из них имеют в окраске красный цвет. Тогда . Аналогично можно подсчитать, что
Таким образом, события А, В, С попарно независимы. Однако, если осуществились события В и С вместе, то и осуществилось событие А, т.е. . Следовательно, события А, В и С в совокупности зависимы.
Обобщение теоремы умножения вероятностей на случай произвольного конечного числа независимых событий: .
Пример 4. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в мишень, равна . Стрелок произвел три выстрела. Найти вероятность того, что он попал три раза.
Решение. Пусть событие А - стрелок попал в мишень при первом выстреле, событие В - стрелок попал в мишень при втором выстреле; событие С - стрелок попал в мишень при третьем выстреле. Вероятности этих событий по условию равны между собой: . Так как вероятность попадания в цель при каждом из выстрелов не зависит от результата остальных выстрелов, то все три события независимы в совокупности, тогда .
Следствие. (Теорема о вероятности появления хотя бы одного из совокупности независимых событий). Вероятность появления хотя бы одного из совокупности независимых событий А А
Как отмечалось в начале нашего курса, мы подразумеваем, что эксперимент проводится при некотором фиксированном комплексе условий К. Если эти условия изменились, то изменяется и вероятность событий, относящихся к этому эксперименту. Такое изменение всегда можно понимать как появление некоторого события (кроме исходного комплекса условий К). Чтобы понять, как определить в этом случае новую (условную) вероятность, рассмотрим соответствующие частоты. Пусть эксперимент проведен N раз, событие В произошло N(B) раз, а события А и В вместе N(AB) раз. Тогда ’’условная” частота события А среди тех экспериментов, где произошло событие В, равна
Имея в виду, что вероятность наследует свойства частот, можно дать следующее
Определение 1. Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие 
, называется число 
Иногда применяют и другое обозначение
Пример 1 . Симметричную монету подбрасывают два раза. Известно, что выпал один герб (событие В). Найти вероятность события А, состоящего в том, что герб выпал при первом бросании.
Легко вычислить, что 
, а 
. Отсюда следует, что
Нетрудно проверить, что при фиксированном В условная вероятность обладает следующими свойствами:
Таким образом, условная вероятность обладает всеми основными свойствами вероятности.
Очень важную роль играет следующая теорема.
Теорема умножения. Пусть А и В - два события и Тогда 
Ее доказательство следует из определения условной вероятности. Польза этой теоремы состоит в том, что иногда мы можем вычислить условную вероятность непосредственно и затем использовать это для вычисления
Пример 2. В урне 5 шаров - 3 белых и 2 черных. Без возвращения выбираем два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Пусть событие состоит в том, что первый шар белый, а событие - второй шар белый. Легко вычислить, что 
После того, как мы вынули один шар и знаем, что он белый, мы имеем 4 шара и среди них 2 белых. Тогда 
. По теореме умножения
Теорему умножения легко распространить на любое конечное число событий.
Следствие 1. Пусть - случайные события, тогда
Если появление события В не меняет вероятности события А, т. е.
, то такие события естественно назвать независимыми. В этом случае по теореме умножения мы получаем
Последнее соотношение симметрично относительно А и В и имеет смысл при . Поэтому мы возьмем его в качестве определения.
Определение 2. События А и В называются независимыми, если 
Пример 3 . Подбрасывают две симметричных монеты. Событие А состоит в том, что на первой монете выпал герб, а событие В - на второй монете выпал герб.
Интуитивно ясно, что такие события должны быть независимыми. Действительно,
,
,
Таким образом А и В - независимы в смысле определения. Менее очевидно, что независимы события А и С, где С означает, что выпал только один герб (доказать!).
Сложнее определяется независимость более двух событий.
Определение 3 . События называем независимыми в совокупности, если для любого и любых событий из рассматриваемых справедливо
Покажем на примерах, что попарной независимости и выполнения последнего равенства для перечня всех событий недостаточно для независимости в совокупности.
Пример 4. Правильный тетраэдр окрашен тремя цветами: одна грань - в синий цвет, вторая - в красный, третья - в зеленый, а на четвертой присутствуют все три цвета. Этот тетраэдр подбрасывают и отмечают, какой гранью он выпал.
Пусть означает появление синего цвета, - красного, - зеленого. Тогда,
,
,
Отсюда мы получаем, что. Аналогично для других пар. Таким образом, мы имеем попарную независимость. Но
Задача 1. Придумать пример эксперимента и трех событий ,,, для которых , но которые не являются попарно независимыми.
Можно дать следующее более общее
Определение 4. Пусть - некоторые классы событий.
Они называются независимыми, если любые события - независимы в совокупности.
Типичная ситуация описана в следующем примере.
Пример 5 . Симметричный игральный кубик подбрасывают два раза. обозначает набор событий, связанных с результатом первого бросания. определяется аналогично для результата второго бросания. Тогда и -независимы.
Во многих задачах является полезным следующий результат.
Предложение 1 . Если события А и В независимы, то независимы и любые два из следующих: .
Доказательство. Докажем независимость .
Независимость остальных пар событий предлагается доказать самостоятельно.
Во многих ситуациях мы встречаемся с такими экспериментами, которые можно разложить на два (или более) этапов. На первом этапе мы имеем несколько вариантов, а спрашивается что- либо о том, что произошло в конце - на втором этапе. В этом случае чрезвычайно полезен приводимый ниже результат. Начнем со следующего определения.
Определение 5. События образуют полную группу событий (разбиение пространства), если
Теорема 1 . Пусть события образуют полную группу событий, для всех и - произвольное событие. Тогда 
- формула полной вероятности.
Доказательство. Так как события образуют полную группу, то мы имеем
Отсюда получаем
Где мы использовали теорему умножения.
Пример 6 . На некоторой фабрике 30% продукции производится машиной А, 25% продукции - машиной В, а остальная продукция - машиной С. У машины А в брак идет 1% производимой ей продукции, у машины - 1,2% , а у машины С - 2%. Из всей произведенной продукции случайно выбрано одно изделие. Какова вероятность того, что оно бракованное?
Пусть обозначает событие, состоящее в том, что выбранная деталь изготовлена на машине А, - на машине В, - на машине С. Обозначим через D событие, состоящее в том, что выбранная деталь бракованная. События образуют полную группу событий. По условию задачи
4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Во многих задачах приходится находить вероятность совмещения событий А и В , если известны вероятности событий А и В .
Рассмотрим следующий пример. Пусть брошены две монеты. Найдем вероятность появления двух гербов.
Мы имеем 4 равновероятных попарно несовместных исхода, образующих полную группу:
| 1-я монета | 2-я монета | |
| 1-й исход | герб | герб |
| 2-й исход | герб | надпись |
| 3-й исход | надпись | герб |
| 4-й исход | надпись | надпись |
Таким образом, P(герб,герб)=1/4 .
Пусть теперь нам стало известно, что на первой монете выпал герб. Как изменится после этого вероятность
того, что герб появится на обеих монетах? Так как на первой монете выпал герб, то теперь полная группа состоит из двух равновероятных
несовместных исходов:
| 1-я монета | 2-я монета | |
| 1-й исход | герб | герб |
| 2-й исход | герб | надпись |
При этом только один из исходов благоприятствует событию (герб, герб). Поэтому при сделанных предположениях Р(герб,герб)=1/2 . Обозначим через А появление двух гербов, а через В - появление герба на первой монете. Мы видим, что вероятность события А изменилась, когда стало известно, что событие B произошло.
Новую вероятность события А , в предположении, что произошло событие B , будем обозначать P B (А) .
Таким образом, Р(A)=1/4; P B (А)=1/2
Теорема умножения. Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие осуществилось, т. е.
| P(AB)=P(A)P A (B) | (4) |
Доказательство.
Докажем справедливость соотношения (4), опираясь на классическое определение вероятности.
Пусть возможные исходы Е 1
, Е 2
, ..., Е N
данного опыта образуют полную группу
равновероятных попарно несовместных событий, из которых событию A
благоприятствуют M
исходов, и пусть из этих M
исходов L
исходов благоприятствуют событию B
. Очевидно, что совмещению событий A
и B
благоприятствуют L
из N
возможных результатов испытания. Это дает
; ;
Таким образом,
Поменяв местами A
и B
, аналогично получим
Теорема умножения легко обобщается на любое, конечное число событий. Так, например, в случае трех событий A 1
, A 2
, A 3
имеем *
В общем случае
Из соотношения (6) вытекает, что из двух равенств (8) одно является следствием другого.
Пусть, например, событие A - появление герба при однократном бросании монеты, а событие B - появление карты бубновой масти при вынимании карты из колоды. Очевидно, что события A и B независимы.
В случае независимости событий A к B формула (4) примет более простой вид:
* Событие A 1 A 2 A 3 можно представить как совмещение двух событий: события C=A 1 A 2 и события A 3 .
Рассмотрим задачу. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов билеты с номерами с 1 по 5 и с 26 по 30. Известно, что студент на экзамене вытащил билет с номером, не превышающим 20. Какова вероятность, что студент вытащил выученный билет?
Определим пространство элементарных исходов: W=(1,2,3,...,28,29,30). Пусть событие А заключается в том, чтостудент вытащил выученный билет: А = (1,...,5,26,...,30,), а событие В - в том, что студент вытащил билет из первых двадцати: В = (1,2,3,...,20)
Событие состоит из пяти исходов: (1,2,3,4,5), и его вероятность равна 5/30. Это число можно представить как произведение дробей 5/20 и 20/30. Число 20/30 – это вероятность события B . Число 5/20 можно рассматривать как вероятность события А при условии, что событие В произошло (обозначим её Р (А /В )). Таким образом, решение задачи определяется формулой
Р (А /В ) = P (А ÇВ ) /Р (B ) (2)
Р (А /В ) называется условной вероятностью события A при условии, что событие В произошло . Формулу (2) можно рассматривать, как определение условной вероятности . Эту же формулу можно переписать в виде
P (А ÇВ ) = Р (А /В )Р (B )(3)
Формула (3) называется формулой умножения вероятностей или теоремой умножения вероятностей, а условная вероятность Р (А /В ) здесь должна восприниматься просто по смыслу.
Пример 2 . Из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шаров, наудачу один за другим извлекают (без возвращения) два шара. Какова вероятность того, что первый шар будет белым, а второй черным?
Пусть X – событие, состоящее в извлечении первым белого шара, а Y - событие, состоящее в извлечении вторым черного шара. Тогда – событие, заключающееся в том, что первый шар будет белым, а второй - черным. P (Y /X ) =3/9 =1/3 - условная вероятность извлечения вторым черного шара, если первым был извлечен белый. Учитывая, что P (X ) = 7/10, по формуле умножения вероятностей получаем: P () = 7/30
Событие А называется независимым от события В (иначе: события А и В называются независимыми), если Р (А /В )=Р (А ). За определение независимых событий можно принять следствие последней формулы и формулы умножения
P (А ÇВ ) = Р (А ) Р (B )
Докажите самостоятельно, что если А и В - независимые события, то и тоже являются независимыми событиями.
Пример 3 . Найти вероятность того, что при трёх бросках игральной кости три раза выпадет шестёрка. Очевидно, что при каждом броске результат не зависит от результатов предыдущих бросков, и искомая вероятность равна (1/6) 3 = 1/216.
Пример 4 . Определим в условиях этой задачи вероятность того, что при трёх бросках в сумме выпало 4 очка. Выпишем благоприятные исходы: “1–1–2”, “1–2–1”, “2–1–1”. Вероятность каждого из этих исходов равна 1/216. Так как все эти исходы несовместимы, интересующая нас вероятность будет равна 3/216 = 1/72.
Пример 5 . Из колоды карт в 32 листа извлекается одна карта. Пусть А – событие, состоящее в том, что извлечённая карта – дама. Событие В состоит в том, что извлечённая карта пиковой масти. Очевидно, что Р (А ) = 4/32 = 1/8. Вычислим величину вероятность того, что извлечённая карта –дама при условии, что эта карта пиковой масти, то есть Р (А/В ). Очевидно, что Р (А ÇВ ) = 1/32, и Р (В ) = 8/32. Тогда Р (А/В ) = Р (А ÇВ )/ Р (В ) = 1/8, то есть Р (А ) = Р (А/В ). Отсюда следует, что события А и В независимы.
Пусть событие С заключается в том, что извлечённая карта не туз. Покажем, что события А и С зависимы. Очевидно, что Р (А ÇС ) = Р (А ) = 1/8. Р (С ) = 28/32 = 7/8. Отсюда получаем Р (А/С ) = 1/7, и это не равно величине Р (А ), следовательно, события А и С зависимы.
Пример 6 . Рассмотрим задачу, аналогичную задаче из примера 2, но с одним дополнительным условием: вытащив первый шар, запоминаем его цвет и возвращаем шар в урну, после чего все шары перемешиваем. В данном случае результат второго извлечения никак не зависит от того, какой шар – черный или белый появился при первом извлечении. Вероятность появления первым белого шара (событие А ) равна 7/10. Вероятность события В – появления вторым черного шара – равна 3/10. Теперь формула умножения вероятностей дает: P (А ÇВ ) = 21/100.
Извлечение шаров способом, описанным в этом примере, называется выборкой с возвращением или возвратной выборкой.
Следует отметить, что если в задаче с шарами положить количество белых и черных шаров равным соответственно 7000 и 3000, то результаты расчетов тех же вероятностей будут отличаться пренебрежимо мало для возвратной и безвозвратной выборок.
Рассмотрим задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.
1. Три стрелка стреляют в мишень. Каждый попадает в мишень или не попадает в мишень независимо от результатов выстрелов остальных стрелков. Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,8, а третий – с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена?
Вопрос можно поставить иначе: какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадёт в мишень? Очевидно, что мишень будет поражена, если все трое попадут в мишень, если в мишень попадут любые двое стрелков, а третий не попадёт и т. д. Пусть событие А состоит в том, что хотя бы один из стрелков попал в мишень. Тогда противоположное событие заключается в том, что все трое не попали в мишень . Если первый не попадает в мишень с вероятностью 0,1, второй – с вероятностью 0,2, а третий – с вероятностью 0,3, то по теореме умножения вероятностей Р() = 0,1×0,2×0,3 = 0,006. Тогда Р(А) = 1 – Р() = 0,994.
2. При включении двигатель начинает работать с вероятностью р . а) Найти вероятность того, что двигатель начнёт работать со второго включения.
б) Найти вероятность того, что для запуска двигателя потребуется не более двух включений.
а) Для того, чтобы двигатель начал работать со второго включения, нужно, во-первых, чтобы он не запустился при первом включении (событие А ). Это происходит с вероятностью 1 – р . При втором включении двигатель запустится (событие В ) с вероятностью р . Нас интересует вероятность события А ÇВ . Из условия задачи можно понять, что события А и В независимы. Отсюда P (А ÇВ ) = р (1 – р ).
б) Нас интересует вероятность события, состоящего в том, что двигатель запустится при первом включении или при втором включении. Противоположное событие заключается в том, что двигатель не запустится ни при первом, ни при втором включении. Вероятность этого противоположного события равна (1 – р ) 2 . Отсюда вероятность интересующего нас события равна 1 – (1 – р ) 2 .
3 . В семье Ивановых 4 ребёнка. Известно, что один из детей – мальчик. Найти вероятность того, что все дети – мальчики. Принять вероятность рождения мальчика и вероятность рождения девочки равными 1/2 и не зависящими от того, какого пола дети уже имеются в семье.
Пусть событие В состоит в том, что все дети в семье – мальчики, событие А состоит в том, что в семье есть хотя бы один мальчик (именно так мы должны понимать условие задачи). Нас интересует величина Р (В/А ). Для того, чтобы воспользоваться формулой условной вероятности, надо, во-первых, вычислить P (А ÇВ ). В нашем случае событие А является следствием события В , поэтому P (А ÇВ ) = Р (В ) (смотри объяснение к теме 2). По условию задачи Р (В ) = (1/2) 4 = 1/16. Чтобы вычислить Р (А ), заметим, что событие состоит в том, что все дети в семье –девочки. Очевидно, что Р () = (1/2) 4 = 1/16. Тогда Р (А ) = 1 – Р () = 15/16. Теперь можно воспользоваться формулой для определения условной вероятности Р (В /А ) = P (А ÇВ )/Р (А ). В результате получается Р (В /А ) = (1/16)/(15/16) = 1/15.
Если бы в условии этой задачи был поставлен вопрос “чему равна вероятность того, что все дети мальчики, при условии, что второй ребёнок – мальчик?”, то ответ был бы 1/8.
4 . В урне семь белых и три чёрных шара. Без возвращения извлекаются три шара. Известно, что среди них есть чёрный шар. Найти вероятность того, что другие два шара белые.
Пусть событие А состоит в том, что в выборке есть два белых шара, событие В – в том, что в выборке есть чёрный шар. Всего в условии задачи существует возможных исходов. Отсюда Р (А ÇВ ) = . Чтобы вычислить вероятность Р (В ), заметим, что состоит в том, что все извлечённые шары белые, и Р () = . Искомая вероятность равна ()/(1 – ) = 63/85.
5. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачёт сдан, если студент ответит не менее чем на 3 из 4-х вопросов в билете. Взглянув на первый вопрос, студент обнаружил, что знает его. Какова вероятность, что студент сдаст зачёт?
Пусть А - событие, заключающееся в том, что студент сдал экзамен;
В - событие, заключающееся в том, что студент знает первый вопрос в билете.
Очевидно, что Р (В ) =20/25 = 4/5. Теперь необходимо определить вероятность Р (А ÇВ ). Из двадцати пяти вопросов можно составить различных билетов, содержащих четыре вопроса. Все билеты, выбор которых удовлетворял бы и событию А, и событию В , должны быть составлены следующим образом: либо студент знает все вопросы билета (можно составить всего таких билетов), либо студент знает первый, второй и третий вопросы, но не знает четвёртого (можно составить всего 5таких билетов), либо студент знает первый, второй и четвёртый вопросы, но не знает третьего (тоже 5билетов), либо студент знает первый, третий и четвёртый вопросы, но не знает второго (тоже 5билетов). Отсюда получаем, что
Р (А ÇВ ) =
Осталось только найти искомую вероятность р (А/В):
Р (А/В) =
Задачи для самостоятельного решения.
1) . Вероятность попасть в самолёт равна 0,4, вероятность его сбить равна 0,1. Найти вероятность того, что при попадании в самолёт он будет сбит.
2) . Из урны, содержащей 6 белых и 4 чёрных шара, наудачу извлекают по одному шару до появления чёрного шара. Найти вероятность того, что придётся производить четвёртое извлечение, если выборка производится а) с возвращением; б) без возвращения.
3) а) В условиях задачи 1 найти вероятность того, что в мишень попали двое стрелков. б) В условиях задачи 1 найти вероятность того, что в мишень попали не менее двух стрелков.
4) По самолёту производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6, при третьем – 0,8. При одном попадании самолёт будет сбит с вероятностью 0,3, при двух – с вероятностью 0,6, при трёх самолёт будет сбит наверняка. Какова вероятность того, что самолёт будет сбит?
5) Вероятность того, что случайным образом выбранный из студенческой группы студент знает английский язык, равна 5/6. Вероятность того, что студент знает французский язык, равна 7/12. Вероятность того, что студент знает и английский и французский языки, равна 1/2. а) Найти вероятность того, что студент не знает французского языка при условии, что он не знает английского. б) Найти вероятность того, что студент знает французский язык при условии, что он знает английский.
Ответы. 1)1/4; 2) а) 0,216; б) 1/6; 3) а) 0,398; б) 0,902; 4) 0,594; 5) а) 0,5; б) 0,3.
